添加时间:2024-03-04 12:49:50
1. 优化问题
最一般的优化问题的表述是这样的:
求解等式约束 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=0$ 和不等式约束 $\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})\leq 0$ 下使得取得 $\min f(\boldsymbol{x})$ 的解 $\boldsymbol{x}$
其中 $f:\mathbb{R}^n\Rightarrow \mathbb{R}$,$\boldsymbol{g}:\mathbb{R}^n\Rightarrow \mathbb{R}^m$(即m个等式约束),$\boldsymbol{h}:\mathbb{R}^n\Rightarrow \mathbb{R}^k$(即k个不等式约束)
这里映射 $\boldsymbol{h}$ 所使用的小于号表示各个分量均小于零。当目标函数 $f$,等式约束函数 $\boldsymbol{g}$ 和不等式约束函数 $\boldsymbol{h}$ 要么缺省要么为线性函数时,该优化问题又称线性规划;否则(只要存在任意一函数非线性)即称为非线性规划。优化问题是数值计算中非常重要的一个问题。和非线性方程组求解一样,这个看似简单的问题也并没有可以直截了当地处理多数问题的silver-bullet,这一方面的理论比较复杂;此外,优化算法的应用领域极其广泛、地位极其重要,除了求解非线性方程组可以使用(matlab中最常用于解非线性方程组的函数fsolve就是使用优化方法,见MATLAB解方程内置函数详解)以外,在人工智能和机器学习领域也有很重要的地位。而不论是高中文科数学总要掌握的线性规划,还是基本的最小二乘问题(也是通常的线性回归使用的方法),其本质都是优化问题的一个特例。
高等数学的知识告诉我们,一维连续光滑函数取得极值的必要非充分条件是该点导数值为零。如果试图寻找函数在一定区间上的最值(最大/最小值),一般的方法是找出所有的极值点和端点比较其函数值。和这一方法一样,虽然优化问题的一般表述总是将“最值”作为追求的目标,在实际的算法中却几乎总是以求极值为出发点。至于求解总区间上的最值,总是比较复杂和困难,而且总是能够构造处一些函数,它的最值对于计算方法几乎不太可能求出。以下的讨论基本总是求解极值的算法。
2. 问题的性质
2.1 解的存在唯一性:
若函数 $f$ 在n维有界闭区域 $S$ 上连续,那么 $f$ 在 $S$ 上一定有全局最小值;
若函数 $f$ 在n维闭区域 $S$ 上连续并且向正无穷发散(coercive,即 $\lim\limits_{||x||\Rightarrow \infty}f(\boldsymbol{x})=+\infty$ ),那么 $f$ 在 $S$ 上一定有全局最小值。
以上定理只能保证最小值存在,没有建立最小值和极小值之间的关系。但是,对于一类特殊的函数,它在一定区域内的极小值一定是最小值,这类函数即凸函数。凸函数为定义在凸区间上的一种函数,它满足任意两点的连线位于抽象的函数曲面之下;而凸区间则满足任意两点连线仍然在区间中。定义在凸区间内的严格凸函数有唯一的极小值,该极小值为该函数在该区间上的最小值。
2.2 最优化条件:
一阶最优化条件:一维函数 $f:\mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}$ 的一阶极值条件:$f'(x)=0$ ;高维函数 $f:\mathbb{R}^n\Rightarrow \mathbb{R}$ 的一阶极值条件:$ abla f(\boldsymbol{x})=0$ 。
二阶最优化条件:一维函数 $f:\mathbb{R}\Rightarrow \mathbb{R}$ 的一阶极值条件:$f''(x)>0$ ;高维函数 $f:\mathbb{R}^n\Rightarrow \mathbb{R}$ 的二阶极值条件:$H_f(\boldsymbol{x})$ 正定。其中,$(H_f(\boldsymbol{x}))_{ij}=\frac{\partial^2 f(\boldsymbol{x})}{\partial x_i \partial x_j}$ 称为海塞(Hessian)矩阵,它是高维函数泰勒展开的二次项系数,等价于一维函数泰勒展开的二次项系数(二阶导数)。当一阶最优化条件满足时,海塞矩阵正定$\Rightarrow$该点为极小值点;海塞矩阵负定$\Rightarrow$该点为极大值点;海塞矩阵不定$\Rightarrow$该点为鞍点;海塞矩阵为奇异矩阵$\Rightarrow$无法判断点的类型,此时理论上来说需要有更高阶最优化条件。
2.3 问题的条件:
考虑一维函数的泰勒级数展开:$f(\hat{x})\approx f(x^*)+f'(x^*)h+f''(x^*)h^2/2$ 。在极值附近,$f'(x^*)=0$, 以函数值距离最小值的差距为向后误差,$|f(x)-f(x^*)|\leq \epsilon$,则有 $h\leq \sqrt{2\epsilon/|f''(x^*)|}$ ,精度比较求解非线性方程是减半的(2n位有效数字$\Rightarrow$n位有效数字)。但是,有许多的数值解法等效于求解一阶最优化条件,此时不应当将函数值距离最小值的差作为向后误差,而应当将一阶导数的绝对值作为向后误差。
3. 数值方法
和数值求解方程的问题类似,数值优化的方法也多为迭代方法。
3.1 一维优化问题
一维优化问题的数值方法包括:黄金分割搜索法(区间分割),牛顿法(一阶最优化求解),连续二次插值法,等。
3.2 高维优化问题
高维优化问题的数值方法包括:Nelder-Mead单纯形方法(直接搜索),最速下降法,信赖域方法,高维牛顿法(一阶最优化求解),拟牛顿法(割线更新迭代)—— BFGS方法、共轭梯度法,等。
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