Optimizer 梯度下降优化算法示例

奥特曼在思考

Optimizer优化器封装好的函数作为神经网络的两大框架：PyTorch和TensorFlow，

? ? ? ? 当前使用的许多优化算法，是对梯度下降法的衍生和优化。在微积分中，对多元函数的参数求偏导数，把求得的各个参数的导数以向量的形式写出来就是梯度。梯度就是函数变化最快的地方。梯度下降是迭代法的一种，在求解机器学习算法的模型参数时，即无约束问题时，梯度下降是最常采用的方法之一。

1.Gradient Descent（GD）

? ? ? ? 梯度下降算法中，模型参数的更新调整，与代价函数关于模型参数的梯度有关，即沿着梯度的方向不断减小模型参数，从而最小化代价函数。基本策略可以理解为”在有限视距内寻找最快路径下山“

标准的梯度下降主要有两个缺点：

1.1训练速度慢：在应用于大型数据集中，每输入一个样本都要更新一次参数，且每次迭代都要遍历所有的样本，会使得训练过程及其缓慢，需要花费很长时间才能得到收敛解。

1.2容易陷入局部最优解：由于是在有限视距内寻找下山的反向，当陷入平坦的洼地，会误以为到达了山地的最低点，从而不会继续往下走。所谓的局部最优解就是鞍点，落入鞍点，梯度为0，使得模型参数不在继续更新。

2.Batch Gradient Descent（BGD）

? ? ? ? BGD相对于标准GD进行了改进，改进的地方通过它的名字应该也能看出来，也就是不再是想标准GD一样，对每个样本输入都进行参数更新，而是针对一个批量的数据输入进行参数更新。

? ? ? ? BGD其实是在一个批量的样本数据中，求取该批量样本梯度的均值来更新参数，即每次权值调整发生在批量样本输入之后，而不是每输入一个样本就更新一次模型参数，这样就会大大加快训练速度，但是还是不够

3.Stochastic Gradient Descent（SGD）

? ? ? ? 随机梯度下降法，不像BGD每一次参数更新，需要计算整个数据样本集的梯度，而是每次参数更新时，仅仅选取一个样本计算其梯度，公式看起来和上面标准GD一样，但是注意了，这里的样本是从批量中随机选取一个，而标准GD是所有的输入样本都进行计算。可以看到BGD和SGD是两个极端，SGD由于每次参数更新仅仅需要计算一个样本的梯度，训练速度很快，即使在样本量很大的情况下，可能只需要其中一部分样本就能迭代到最优解，由于每次迭代并不是都向着整体最优化方向，导致梯度下降的波动非常大（如下图），更容易从一个局部最优跳到另一个局部最优，准确度下降。当缓慢降低学习率时，SGD会显示与BGD相同的收敛行为，几乎一定会收敛到局部（非凸优化）或全局最小值（凸优化）。

SGD的优点：

? ? ? ? 3.1 虽然看起来SGD波动非常大，会走很多弯路，但是对梯度的要求很低（计算梯度快），而且对于引入噪声，大量的理论和实践工作证明，只要噪声不是特别大，SGD都能很好地收敛。

? ? ? ? 3.2 应用大型数据集时，训练速度很快。比如每次从百万数据样本中，取几百个数据点，算一个SGD梯度，更新一下模型参数。相比于标准梯度下降法的遍历全部样本，每输入一个样本更新一次参数，要快得多。

SGD的缺点：

? ? ? ? 3.3 SGD在随机选择梯度的同时会引入噪声，使得权值更新的方向不一定正确（次要）。

? ? ? ? 3.4 SGD也没能单独克服局部最优解的问题。

4.Mini-batch Gradient Descent（MBGD）

? ? ? ? 小批量梯度下降法就是结合BGD和SGD的折中，对于含有个训练样本的数据集，每次参数更新。小批量梯度下降法即保证了训练的速度，又能保证最后收敛的准确率，目前的SGD默认是小批量梯度下降算法。常用的小批量尺寸范围在50到256之间，但可能因不同的应用而异。

MBGD的缺点：

? ? ? ? Mini-batch gradient descent 不能保证很好的收敛性，learning rate 如果选择的太小，收敛速度会很慢，如果太大，loss function 就会在极小值处不停地震荡甚至偏离（有一种措施是先设定大一点的学习率，当两次迭代之间的变化低于某个阈值后，就减小 learning rate，不过这个阈值的设定需要提前写好，这样的话就不能够适应数据集的特点）。对于非凸函数，还要避免陷于局部极小值处，或者鞍点处，因为鞍点所有维度的梯度都接近于0，SGD 很容易被困在这里（会在鞍点或者局部最小点震荡跳动，因为在此点处，如果是BGD的训练集全集带入，则优化会停止不动，如果是mini-batch或者SGD，每次找到的梯度都是不同的，就会发生震荡，来回跳动）。

? ? ? ? SGD对所有参数更新时应用同样的 learning rate，如果我们的数据是稀疏的，我们更希望对出现频率低的特征进行大一点的更新， 且learning rate会随着更新的次数逐渐变小。

5.Momentum

? ? ? ? momentum算法思想：参数更新时在一定程度上保留之前更新的方向，同时又利用当前batch的梯度微调最终的更新方向，简言之就是通过积累之前的动量来加速当前的梯度。

动量主要解决SGD的两个问题：

5.1 随机梯度的方法（引入的噪声）

5.2 Hessian矩阵病态问题（可以理解为SGD在收敛过程中和正确梯度相比来回摆动比较大的问题）

6.Nesterov Accelerated Gradient

? ? ? ? NAG(Nesterov accelerated gradient）算法，是Momentum动量算法的变种。momentum保留了上一时刻的梯度，对其没有进行任何改变，NAG是momentum的改进，在梯度更新时做一个矫正。

? ? ? ?加上nesterov项后，梯度在大的跳跃后，进行计算对当前梯度进行校正。?

? ? ? ?Nesterov动量梯度的计算在模型参数施加当前速度之后，因此可以理解为往标准动量中添加了一个校正因子。在凸批量梯度的情况下，Nesterov动量将额外误差收敛率从(k步后)改进到，然而，在随机梯度情况下，Nesterov动量对收敛率的作用却不是很大。Momentum和Nexterov都是为了使梯度更新更灵活。

7. Adagrad

? ? ? ? Adagrad其实是对学习率进行了一个约束，对于经常更新的参数，我们已经积累了大量关于它的知识，不希望被单个样本影响太大，希望学习速率慢一些；对于偶尔更新的参数，我们了解的信息太少，希望能从每个偶然出现的样本身上多学一些，即学习速率大一些。而该方法中开始使用二阶动量，才意味着“自适应学习率”优化算法时代的到来。

? ? ? ? Adagrad还是存在一个很明显的缺点：

? ? ? ? 7.1 仍需要手工设置一个全局学习率, 如果设置过大的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大

? ? ? ? 7.2 中后期，分母上梯度累加的平方和会越来越大，使得参数更新量趋近于0，使得训练提前结束，无法学习